De diepste zoom-in op de Mandelbrot-set tot nu toe

[entropy]

@oktagon
In stappen:
-Ga via je zoekmachine naar tinypic
-Maak een account aan (alles is gratis)
-Laad een foto uit je fotobestanden (via `bladeren`)
-Maak een keuze hoe groot je de foto wilt maken (te regelen met de in beeld verschijnende knop verkleinen (waarmee je een vast aantal formaten kunt laten generen van je foto; de term verkleinen is dus wat misleidend)
-je foto staat nu snel bij tinypic in het bestand
-ga met je pijltje op de foto staan waarna er een handje tevoorschijn komt, en klik op de linker muisknop
-er opent zich nu een menu
-klik daarin op eigenschappen en er opent zich een deelvenster
-daarin is het adres te zien van je foto (in blauw)
-zet je pijltje daar op, klik met de linkerknop van je muis en klik op kopiëren?
-klik weer op je dezelfde knop van je muis, waarna zich weer het hulpmenu opent
-klik op plakken en tussen de twee Img tags komt het adres van je foto tevoorschijn, en als het goed is komt de foto nu in je bericht te staan (kijk eerst even in voorbeeld)

Het lijkt inderdaad op een kelk maar dat is Natuurlijk niet waardóór de as in het oneindig (kleine) verdwijnt. Dat is louter te danken aan het gedrag van de iteratie voor verschillende waarden van c in een heel klein continu gebiedje op de rand van de verzameling. De verschillende kleuren geven de mate van de snelheid van hoe snel de iteratie con- of divergeert. Net buiten de rand zal de iteratie, op een wijze die heel gevoelig is voor een héél kleine verandering in c, divergeren en net binnen de rand idem dito, maar i.p.v. divergeren convergeren. Wat denk je dat er óp de rand gebeurt?

[Il guercio]

@entropy
Ik heb het bericht gewijzigd omdat er stappen die ik ingetypt had op een of andere manier verloren waren gegaan.
Wat betreft het steeds mooi in het centrum blijven. Goeie vraag! Daar moet ik ook even over nadenken. Wat denk jij zelf daarover?

[oktagon]

Bedankt voor jullie hulp met Tinypig (c");zal er zo goed mogelijk mee manipuleren en hopen dat het lukt.

De door Tammy geplaatste fotos gaven weer een duidelijker aanwijzing,dat er waarschijnlijk rampen zijn gebeurd op Mars door en met aliens of voorgangers van de Egyptenaren/mesopotamiers,die technieken hadden om te ontsnappen van Mars zo'n 10-15 millennia geleden !?

[entropy]

Wat betreft het steeds mooi in het centrum blijven. Goeie vraag! Daar moet ik ook even over nadenken. Wat denk jij zelf daarover?

De enige verklaring die ik kan verzinnen is dat ze heuristisch te werk zijn gegaan door eerst consequent in te zoomen vanaf 0, en along the way zo nodig weer stapjes zijn uitgezoomd en een andere weg zijn gegaan, enzovoort, net zo lang tot ze een mooie lijn hadden. Vervolgens hebben ze de animatie langs die lijn gemaakt...

[Il guercio]

Ik ga er tijdens mijn dagelijkse wandeling met de hond door het bos eens over nadenken.

[univers]

Vondelingenpark?

[Il guercio]

Haha! Ja univers (kort, bondig en krachtig, zoals altijd en en het een echte observer betaamt). De verloren zoon is net teruggekeerd uit het Vondelingenpark in Amsterdam. Ik denk dat ik volgende keer toch maar weer van het Wandelingenpark hier in Driebergen gebruik maak, als ik weer een lange wandeling met de hond ga maken! Ik heb trouwens naast het spelen met de hond wel veel tijd gehad om eens goed over de vraag van entropy na te denken.

[Il guercio]

Entropy, ik denk dat het als volgt werkt. Ergens heel dicht bij de grens van de Mandelbrotverzameling wordt een bepaalde waarde van c gekozen, waarna er binnen een heel klein gebiedje van c (je kan c ook continu variëren) een nieuwe c wordt gekozen. Met behulp van kleuren wordt aangegeven hoe snel de iteraties divergeren c.q. convergeren voor verschillende waarden van c. Ik denk dat m.b.v. een supercomputer elke nieuwe c precies in het midden wordt geplaatst, tesamen met alle andere c´s dicht in de buurt van de nieuwe c-waarde.
Natuurlijk kun je niet 10^275 berekeningen maken, hetgeen mij doet veronderstellen dat er een algoritme wordt gebruikt dat het aantal bewerkingen enorm reduceert.

[entropy]

Inderdaad ja. Klinkt heel plausibel!

Ik weet niet hoeveel invloed een supercomputer kan hebben op dit proces. Men spreekt wel van lineaire, polynomiale en exponentiële berekenbaarheid. Een fractal is van nature al een wiskundig fenomeen dat notoir is om zijn onvoorspelbaarheid. Maar elke keer c bijstellen lijkt me inderdaad logisch.

[Il guercio]

Wat bedoel je met die drie soorten berekenbaarheid?

[oktagon]

@ Il Guercio:

Het volgende verslag van je laat me toch nog vast lopen-de start van nmij was goed,maar een paar dagen na herhalking kreeg ik geen foto op het forum:

@oktagon
In stappen:
-Ga via je zoekmachine naar tinypic
-Maak een account aan (alles is gratis)
-Laad een foto uit je fotobestanden (via `bladeren`)
-Maak een keuze hoe groot je de foto wilt maken (te regelen met de in beeld verschijnende knop verkleinen (waarmee je een vast aantal formaten kunt laten generen van je foto; de term verkleinen is dus wat misleidend)

Hier krijg je een keuze van afmeting bij het verkleinen en ik neem standaard,is dit goed?

-je foto staat nu snel bij tinypic in het bestand
-ga met je pijltje op de foto staan waarna er een handje tevoorschijn komt, en klik op de rechter muisknop
-er opent zich nu een menu
-klik daarin op `toon eigenschappen` (o.i.d) en er opent zich een deelvenster

Toon eigenschappen aantoetsen lukt,maar dan?

-daarin is het adres te zien van je foto (in blauw)

Wat is het adres van de foto ;ik zie diverse smalle gele vensters om een keus te maken met oa. iets tussen
plaatsen;het door jou vermelde kleinere deelvenster vermeld plakken,copieeren en nog wat;maar geeft niets door.

-zet je pijltje daar op, en klik met de rechterknop van je muis
-klik nu op kopiëren

Ook hier wat toelichting graag


-ga terug naar de pagina om je bericht op het forum in te voeren

welke pagina?
-klik op Img

Dus nu op zo'n smal geel venster,dat ik eerder vermelde?

-klik op de rechter muisknop knop, waarna zich weer het hulpmenu opent

En die komt niet tevoorschijn!

-klik op plakken en tussen de twee Img tags komt het adres van je foto dat je zojuist had gekopieerd tevoorschijn, en als het goed is komt de foto nu in je bericht te staan (kijk eerst even in voorbeeld)

Dus eerste copieeren en later blijkbaar plakken?!

Graag wat bijschaven ,svp.

[Il guercio]

Als je op de foto gaat staan die je wilt uploaden naar het forum, klik je met de rechter muisknop. Klik nu op "afbeeldingsinfo". Ga op het blauwe adres staan en klik met de rechter muisknop. Er komt een keuze om te kopiëren tevoorschijn. Aanklikken, en dit dan tussen de twee Img tags plakken. Dus inderdaad "Copy and Paste", hetgeen je met alles wat je blauw maakt ook kan doen.

[Il guercio]

Een fractal is van nature al een wiskundig fenomeen dat notoir is om zijn onvoorspelbaarheid.

Volgens mij is een fractal heel voorspelbaar: Het is een herhaling van hetzelfde op elk niveau.

[entropy]

Een fractal is van nature al een wiskundig fenomeen dat notoir is om zijn onvoorspelbaarheid.

Volgens mij is een fractal heel voorspelbaar: Het is een herhaling van hetzelfde op elk niveau.

Niet exact. Het is niet cyclisch. (volgens mij).

Wat bedoel je met die drie soorten berekenbaarheid?

De orde van de rekentijd. Polynomisch gaat richting oneindig altijd sneller dan lineair, en exponentieel gaat naar oneindig altijd sneller dan Polynomisch. Ik spreek dan over de curve. Als ik spreek over de rekentijd die nodig is, dan is die voor exponentiële berekenbaarheid het grootst.

[Il guercio]

Een fractal is van nature al een wiskundig fenomeen dat notoir is om zijn onvoorspelbaarheid.

Volgens mij is een fractal heel voorspelbaar: Het is een herhaling van hetzelfde op elk niveau.

Niet exact. Het is niet cyclisch. (volgens mij).

Om voorspelbaar te zijn hoeft het geen cyclisch gebeuren te zijn.





Je kent deze twee voorbeelden vast wel

Vooral bij de tweede afbeelding is goed te zien dat dat geen één- maar ook geen tweedimensionale figuur is. Bij de eerste figuur geldt dat het geen nul- maar ook geen ééndimensionale figuur wordt. De dimensies liggen er in beide figuren ergens tussen in, vandaar de naam fractal.

[oktagon]

Voorlopig snel bekeken:

Basis= driehoek -1vlaks-met zwaartepunt op 1/3 van loodlijnen naar de zijden op afstand 1/3 van die zijden
2e vorm= verdubbeling van oppervlak met gelijkv.uitbreidingen naar alle zijden; zwaartepunt blijft gelijk als bij basismodel
3e vorm=verdubbeling van wrs. alleen de voorgaande kleinere driehoeksv. uitbouw,en dit gaat door,hoe?

De vorm heeft nmm.zo te zien niets te maken met een derde dimensie,tenzij de basis geen driehoek-1vlaks- doch een 3dim. pyramide -4 vlaks-zou zijn en dat lijkt me wel mogelijk,een sneeuwvlok is ook een 3dim.lichaam.

Lijkt me een interess. kluif om dat eens te gaan uittekenen tzt!

[Il guercio]

Voorlopig snel bekeken:

Basis= driehoek -1vlaks-met zwaartepunt op 1/3 van loodlijnen naar de zijden op afstand 1/3 van die zijden
2e vorm= verdubbeling van oppervlak met gelijkv.uitbreidingen naar alle zijden; zwaartepunt blijft gelijk als bij basismodel
3e vorm=verdubbeling van wrs. alleen de voorgaande kleinere driehoeksv. uitbouw,en dit gaat door,hoe?

De vorm heeft nmm.zo te zien niets te maken met een derde dimensie,tenzij de basis geen driehoek-1vlaks- doch een 3dim. pyramide -4 vlaks-zou zijn en dat lijkt me wel mogelijk,een sneeuwvlok is ook een 3dim.lichaam.

Lijkt me een interess. kluif om dat eens te gaan uittekenen tzt!

Het is belangrijk jezelf het volgende te realiseren:
Er is bij de driehoek geen sprake van een oppervlak (althans in dit geval). De driehoek wordt gezien als een gesloten ééndimensionaal lijnstuk.
De vorm van de de figuur die ontstaat als je tot in het oneidige steeds kleinere (en steeds meer) driehoekjes blijft toevoegen aan de voorgaande figuur heeft inderdaad niets te maken met een derde dimensie. Van de ééndimensionale (die een speciaal geval van een éédimensionale gesloten`kromme ` is, zoals een ééndimensionale cirkel) eerste driehoek wordt het na heel veel maal (oneindig veel) toepassen van de procedure van het toevoegen van steeds meer en kleinere driehoekjes, steeds minder duidelijk dat het een ééndimensionaal lijnstuk is.
Maar het is ook geen tweedimensionale figuur geworden. De dimensie ligt ergens tussen één en twee. Vandaar de naam fractal.



Ook hier is de dimensie onduidelijk van de figuur die ontstaat na oneindig veel itteraties.

[oktagon]

De uitbouw van de driehoek van Koch werkt naar een vergroting van oppervlak van de oorspr.driehoek met dus een vergroting van de omtrek met 1/3 deel bij de eerste opdeling en een opp.vergroting dan van 15/9 deel (1,666/).Dus een eerste vergroting met 6 stuks 1/9 gelijke driehoeken.
Je kunt de omtrek als een gelijkdelig gebroken lijn beschouwen,in het bovenstaande model dan een gelijkm.12-delig gebroken lijn.

Het proces van uitbreiding speelt zich af buiten de basale driehoek.

De driehoek van Sierpinski werkt naar binnen toe in gelijkvormige driehoeken met een eerste opdeling in vier kleinere gelijke driehoeken en de centrale driehoek verdwijnt en vervolgens de resterende drie verkleinde driehoeken weer elk in vier verkleinde driehoeken,etc,etc.


In beide gevallen kun je doorgaan met verkleinend itereren _herhalen-tot het oneindige,de Kochlijn tot een oneindig fijn gebogen cirkel en de Sierpinski driehoek tot weer de basale driehoek als je de begrenzingen mag gebruiken,wel als totaal zwart vlak vanwege de lijnen.

De fractals van Mandelbrot hebben "ergens" overeenkomst met de Kochlijn.

Nb.Is itereren van een gelijk iets,gelijke dimensies dus of wel het ook het itereren van formules,wat alleen tot gelijkvormigheid met variabele dimensies kan leiden,zie bovenstaand verhaal.Mandelbrot en Sierpinkski werkten met formules als ik het goed heb en door een Fransman al eerder ontwikkeld.

[Il guercio]

De uitbouw van de driehoek van Koch werkt naar een vergroting van oppervlak van de oorspr.driehoek met dus een vergroting van de omtrek met 1/3 deel bij de eerste opdeling en een opp.vergroting dan van 15/9 deel (1,666/).Dus een eerste vergroting met 6 stuks 1/9 gelijke driehoeken.
Je kunt de omtrek als een gelijkdelig gebroken lijn beschouwen,in het bovenstaande model dan een gelijkm.12-delig gebroken lijn.

Het proces van uitbreiding speelt zich af buiten de basale driehoek.

De driehoek van Sierpinski werkt naar binnen toe in gelijkvormige driehoeken met een eerste opdeling in vier kleinere gelijke driehoeken en vervolgens de vier verkleinde driehoeken weer elk in vier verkleinde driehoeken,etc,etc.

Waarom wordt de middelste driehoek bij de tweede opdeling bij Sierpinski niet verder bewerkt?

In beide gevallen kun je doorgaan met verkleinend itereren _herhalen-tot het oneindige,de Kochlijn tot een oneindig fijn gebogen cirkel en de Sierpinski driehoek tot een punt via een oneindig aantal driehoeken.

De fractals van Mandelbrot hebben "ergens" overeenkomst met de Kochlijn.

Nb.Is itereren van een gelijk iets,gelijke dimensies dus of wel het ook het itereren van formules,wat alleen tot gelijkvormigheid met variabele dimensies kan leiden,zie bovenstaand verhaal.

Het gaat niet, nogmaals om de oppervlakte maar om het het gesloten lijnstuk dat de eerst gelijkbenige driehoek (de grote driehoek in het midden) vormt, en van daaruit werk je naar buiten. Er wordt niet naar binnen toe gewerkt. Vandaar dat de middelste driehoek niet naar binnen toe bewerkt wordt, maar juist wél naar buiten.
We beginnen met de grote driehoek in het midden. Dan plaats je op elke zijde van deze driehoek, in het midden van die zijden, een nieuwe, kleinere gelijkbenige driehoek, met zijdes die 1/2 maal zo goot in lengte zijn dan de voorgaande (in dit geval, de eerste driehoek). Op deze tweede generatie plaats je opnieuw gelijkbenige driehoeken die dan weer zijdes hebben ter grootte van de helft van de voorgaande. Dit wordt opgevolgd door op die weer kleinere (elke keer worden de zijdes van de nieuwe driehoeken twee maal zo klein) driehoeken, dezelfde procedure uit te voren als de allereerste. Enzovoorts.
Weer rijst de vraag als je dit een oneindig maal toepast of de figuur één- dan wel tweedimensionaal is. Weer een fractal dus.