Voor de liefhebbers een wiskundesommetje

[Tammy]

Wat is volgens jullie het juiste antwoord ?
Sommige Twitterberichten zijn in de link te zien.

<<<<<<<<<<<<<


De gewraakte som.

Wiskundesommetje leidt tot verhit getwitter .

Een Koreaanse wiskundeliefhebber heeft deze zomer heel wat op zijn/haar geweten. Die plaatste onlangs deze som op Twitter:
8:2(2+2)=
Op het platform buitelden de antwoorden over elkaar heen. Volgens velen is de uitkomst 16. Volgens anderen kan het niet anders zijn dan 1.

Een Koreaanse wiskundeliefhebber heeft deze zomer heel wat op zijn/haar geweten. Die plaatste onlangs deze som op Twitter:
8:2(2+2)=
Op het platform buitelden de antwoorden over elkaar heen. Volgens velen is de uitkomst 16. Volgens anderen kan het niet anders zijn dan 1.

8:2 = 4
x 2+2 = 4
4 x 4=16.

Rekenmachines .

Niet alleen mensen komen tot verschillende uitkomsten. Rekenmachines ook, vertelt Beks in Nieuws en Co op NPO Radio 1. "Mijn Casio geeft als antwoord 1. Maar mijn rekenmachine van Texas Instruments komt uit op 16." De opgegeven som vindt ze maar vaag. "Bij een juiste vraagstelling staan er extra haakjes in de som om hem duidelijk te maken."
Beks bekent dat ze zelf ook even op het verkeerde been stond toen ze de som zag. "Volgens de regels zeg ik als uitkomst 16. Maar als ik het voor mezelf thuis zou opschrijven zou er wel 1 uit komen."

Zich tussen het gekrakeel op Twitter werpen is Beks niet van plan. "Ik denk dat ik er verder buiten blijf."

Meneer van Dalen .

En hoe zat het ook weer met Meneer van Dalen? Vroeger leerden scholieren het ezelsbruggetje: Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord. Dat is de volgorde waarin je dit soort sommen moest doen: Machtsverheffen, Vermenigvuldigen, Delen, Worteltrekken, Optellen en als laatste Aftrekken.
2+2= 4, (die som staat tussen haakjes, dus die moet apart gemaakt worden)
x 2 = 8 (Vermenigvuldigen)
en dan pas delen: 8:8 = 1.

Maar tegenwoordig is de internationale bewerkingsvolgorde Haakjes, Machtsverheffen, Worteltrekken, Vermenigvuldigen, Delen, Optellen en Aftrekken, met als ezelsbruggetje: Hoe Moeten Wij Van Die Onvoldoendes Afkomen. Dus houdt de discussie op Twitter nog wel even aan.

https://nos.nl/artikel/2296080-wiskunde ... itter.html

[gusteman]

Wat is volgens jullie het juiste antwoord ?

Ja, daar zeg je zoiets: 'volgens jullie'.

Daar kan ik, als ik heel eerlijk ben, enkel op antwoorden dat ik dit niet kan beantwoorden.

Want sommen worden gemaakt op basis van vastgelegde regels ... je gaat niet zomaar in het wilde weg bepaalde bewerkingen uitvoeren.

Iedereen kent wel dat beeld van een (zwart of groen) schoolbord dat vol gekrabbeld staat met ingewikkelde formules en berekeningen, meestal van algebraïsche aard.

Wanneer je zo'n berekening gaat uitvoeren zonder de afspraken na te komen, nou ja, dan kom je op iets heel anders uit dan wat degene voor ogen had die het op het bord schreef.

Ik bedoel maar: als je bijvoorbeeld een formule zou nemen die honderd jaar geleden werd neergeschreven met de bedoeling een oscillator te bouwen, en je zou de berekeningen interpreteren op basis van een door jezelf bedachte methode dan is de kans niet onbestaande dat die oscillator voor geen meter zou werken.

Plannen voor pakweg de sterkte van steunbalken in torengebouwen zouden wel eens kunnen waardeloos worden indien geïnterpreteerd volgens die eigen methode.

Het is trouwens voor het eerst dat ik lees

... tegenwoordig is de internationale bewerkingsvolgorde Haakjes, Machtsverheffen, Worteltrekken, Vermenigvuldigen, Delen, Optellen en Aftrekken, met als ezelsbruggetje: Hoe Moeten Wij Van Die Onvoldoendes Afkomen ...

Maar ondanks deze nieuwe afspraken lijkt het mij behoorlijk eenvoudig:

Haakjes --->

• Haakjes
  Machtsverheffen
  Worteltrekken
  Vermenigvuldigen
  Delen
  Optellen ---> (2+2) = 4
  Aftrekken

Machtsverheffen
Worteltrekken
Vermenigvuldigen ---> 2 x 4 = 8
Delen ---> 8 : 8 = 1
Optellen
Aftrekken

Iemand die het anders berekent zal misschien beweren dat je moet kunnen buiten de lijntjes kleuren en outside the box denken, misschien wel een verwijzing plaatsen naar 'eigen waarheid' (zoals zo vaak door Donald Trump, en nu dus ook Boris Johnson, wordt gedaan) of de uitspraak van Einstein dat wetenschap en verbeelding hand in hand moeten gaan.

Maar de enige waarheid in dit geval is dat cijfers niet bedriegen ... alleen de interpretatie kan fout zijn ... en dat ligt dan volledig aan de interpretator.

[Tammy]

Gusteman schreef :

Tammy schreef: ↑za aug 03, 2019 9:05 am
Wat is volgens jullie het juiste antwoord ?

Gusteman schreef :

Ja, daar zeg je zoiets: 'volgens jullie'.

Daar kan ik, als ik heel eerlijk ben, enkel op antwoorden dat ik dit niet kan beantwoorden.

Want sommen worden gemaakt op basis van vastgelegde regels ... je gaat niet zomaar in het wilde weg bepaalde bewerkingen uitvoeren.

Ik ga ervan uit Gusteman dat degene die wiskunde kennen volgens de vastgestelde regels van de wiskunde wat men heeft geleerd dit soort sommen dus ook als zodanig benaderen.

Maar aangezien ik een 2 als rapportcijfer voor wiskunde op school had wat ook nog aan de hoge kant was trek ik mij wijselijk terug uit deze topic en laat ik het over aan de wiskunde experts.
Had wel 3 keer een 10 en 1 keer een 9 voor Frans op mijn rapport , dit vermeld ik zodat ik niet helemaal stupide overkom.

[Fenna]

Mijn rekenmachine geeft het volgende aan ;8÷2×(2+2)
= 16.
Het plaatst er een X tussen en dan kom je op 16.
Volgens mijn boeren verstand moet het 8 zijn.
8÷2=4, (2+2) = 4.
4+4= 8
Maar ik heb absoluut geen wiskundeknobbel

[univers]

Voor de gene met een zwaar hoofd.

[taigitu]

Mijn zoon komt uit op 1.
Hij heeft wel wiskunde gehad.

Zelf 'gok' ik op 5.
Maar ik heb wiskunde laten vallen dus...
Ik ben benieuwd of hier ooit de juiste uitkomst over bekend wordt.

[Gast1]

16?

[gusteman]

Ik ben benieuwd of hier ooit de juiste uitkomst over bekend wordt.

De juiste uitkomst staat hier in het topic al vermeld, en er netjes bij uitgelegd ook waarom het de juiste uitkomst is.

Welk stukje van die uitleg heb je niet begrepen?

PS: je hebt trouwens de juiste uitkomst gekregen via je zoon ... en nog ben je niet overtuigd?

Niets is duidelijker dan cijfers, niets is beter vastgelegd dan de waarde van een cijfer, niets is beter gewapend tegen foutieve interpretatie dan een cijfer.

Dat iemand zou twijfelen aan een bewering kan ik begrijpen ... dat iemand kan twijfelen aan de waarde van een cijfer kan ik echter absoluut niet begrijpen.

PS 2: ik heb het dus wel over cijfers en niet over getallen.

[Witte wel]

Het is zo eenvoudig als wat.
Wat achter het deelteken staat is 2(2+2). Volgens onze geldende rekenmethodes betekend dit dat er staat 2(4) en dat betekend 2x4=8.
De som die er staat is dus 8:2x4=16.
Er bestaat een voorrangsregel. Wat tussen haakjes staat heeft de hoogste prioriteit en daarna geldt m v Dalen waarbij vermenigvuldigen en delen dezelfde prioriteit hebben.
Vroeger was het zo dat vermenigvuldigen prioriteit had boven delen maar door de rekenmachines, dat is de meest waarschijnlijke reden, is deze prioriteit komen te vervallen. Dat geldt overigens ook voor optellen en aftrekken.
Vroeger zou de uitkomst zijn 1 maar nu is deze 16. De komst van technologie heeft onze eeuwenoude rekennormen doen veranderen.
En daardoor dus ook onze rekenkundigheid waar men gerust eens over na zou kunnen gaan denken. Men zou dan kunnen ontdekken, niet iedereen heeft dat door, dat reken een groot gebied van onnoodzakelijkheid kent en meer een presteren kent dan wel een nut.

[gusteman]

Wat achter het deelteken staat is 2(2+2). Volgens onze geldende rekenmethodes betekend dit dat er staat 2(4) en dat betekend 2x4=8.

Tot zo ver was ik ook gekomen, dit staat trouwens ook zo vermeld in het artikel:

En hoe zat het ook weer met Meneer van Dalen? Vroeger leerden scholieren het ezelsbruggetje: Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord. Dat is de volgorde waarin je dit soort sommen moest doen: Machtsverheffen, Vermenigvuldigen, Delen, Worteltrekken, Optellen en als laatste Aftrekken.
2+2= 4, (die som staat tussen haakjes, dus die moet apart gemaakt worden)
x 2 = 8 (Vermenigvuldigen)
en dan pas delen: 8:8 = 1.

Maar tegenwoordig is de internationale bewerkingsvolgorde Haakjes, Machtsverheffen, Worteltrekken, Vermenigvuldigen, Delen, Optellen en Aftrekken, met als ezelsbruggetje: Hoe Moeten Wij Van Die Onvoldoendes Afkomen.

Maar wat je daarna beredeneert slaat me met verstomming.

Eerst geef je aan dat je begint met de bewerking 2x4=8, waaruit volgt dat je deze groep cijfers al één keer hebt gebruikt .... en je die dus ook niet meer kan gebruiken. Wat rest is dan de deling 8 : (uitkomst eerste bewerking).

De uitkomst van de som zou dan zijn: 1.

Maar jij begint met een bewerking, namelijk dat wat tussen de rechte haakjes staat

8 : [2 x (2 + 2)]

waarna je die weggooit om vervolgens een andere bewerking te maken, namelijk

(8 : 2) x (2 + 2)

Uit welke wiskundemethode heb je die werkwijze gehaald?


Het is vrij eenvoudig hoor ... de volgorde voor bewerkingen is:
bewerking tussen haakjes - machtverheffen - worteltrekken - vermenigvuldigen - delen - optellen - aftrekken.

In de opgave zien we

- één keer delen
gevolgd door
- één keer vermenigvuldigen
gevolgd door
- één keer een bewerking tussen haakjes, namelijk optellen.

Normaal gesproken zou de vermenigvuldiging eerst moeten plaats vinden, dan de deling en dan pas het optellen.
Maar dat optellen staat tussen haakjes ... en dat heeft een bedoeling, namelijk dat enkel de uitkomst van dat optellen mag gebruikt worden in de bewerking. Daarom ook dienen de bewerkingen tussen haakjes vooraf, als eerste, te worden uitgevoerd.
Eens dit is afgewerkt resten er nog een deling en een vermenigvuldiging: een vermenigvuldiging dient te worden afgewerkt voor een deling dus is ook hier de werkwijze duidelijk.

Als gevolg daarvan kom je onherroepelijk uit op: haakjes [(2+2) = 4] maal vermenigvuldig getal [2] met de uitkomst van die vermenigvuldiging [8] als deler van [8].

Om dit soort onduidelijkheden te voorkomen bestaat er ook een 'toets van de stelling', een vorm van controle op de juistheid van de bewerking.
Elke deling moet namelijk ook anders kunnen neergezet worden, namelijk als volgt

__8__
2(2+2)

Maakt het wel minder verwarrend, niet?

Tenzij je natuurlijk zou gaan stellen

8
2 ^{x (2+2)}

Maar daabij gooi je de voorrangsregel overboord (eerst vermenigvuldigen en dan pas delen) en dan heb je een foute bewerking.

[Witte wel]

Je moet mee gaan in de tijd gusteman. Er zijn tegenwoordig rekenmachines en die kennen de oude regel mvdwoa niet. Wat tussen haakjes staat moet je eerst uitrekenen en daarna geldt vermenigvuldigen en delen van links naar rechts. Geen van beide hebben voorrang en worden gewoon van links naar rechts verrekend. En dat geldt ook voor optellen en aftrekken. Ook daarvoor geldt geen voorrangsregel meer. Zo moeilijk is dat niet. Je hebt hier niet met machtsverheffen of worteltrekken te maken dus die doen niet mee. Eerst tussen haakjes en dan van links naar rechts.
De oude rekenmethode geldt niet meer.

[Gast1]

En zo is het, vandaar dat ik op 16 uitkwam ... maar de twijfel bleef heel even bij mij.

[gusteman]

Je moet mee gaan in de tijd gusteman.

Kijk eens aan, ik dacht dat ik dat altijd al had gedaan en nu blijkt dit een waanidee te zijn geweest.

Gelukkig ben ik daarmee in behoorlijk goed gezelschap, toch volgens wat te lezen staat in het artikel in de OT.

Wiskundetalent Floor Beks uit Grou moet er een beetje om lachen. Zij veroverde in april de zilveren medaille op de Europese Wiskunde Olympiade voor meisjes in de Oekraïense hoofdstad Kiev.
.....
Niet alleen mensen komen tot verschillende uitkomsten. Rekenmachines ook, vertelt Beks in Nieuws en Co op NPO Radio 1. "Mijn Casio geeft als antwoord 1. Maar mijn rekenmachine van Texas Instruments komt uit op 16."
.....
Beks bekent dat ze zelf ook even op het verkeerde been stond toen ze de som zag. "Volgens de regels zeg ik als uitkomst 16. Maar als ik het voor mezelf thuis zou opschrijven zou er wel 1 uit komen."

Er zijn tegenwoordig rekenmachines en die kennen de oude regel mvdwoa niet.

Als ik zie wat juffrouw Beks daarover weet te vertellen lijken die rekenmachines ook niet zaligmakend te zijn, laat staan dat ze betrouwbare resultaten zouden opleveren.

Die krijg je echter wèl als je de berekening handmatig gaat doen, mèt toepassing van de voorrangsregels.

Hoe doen die rekenmachines dat trouwens met die haakjes? Herkennen ze die of moet je alles eerst zelf afzonderlijk invoeren? Want als het laatste van toepassing is dan gelden die oude regels wel nog, alvast toch voor werken met haakjes.

Geen van beide hebben voorrang en worden gewoon van links naar rechts verrekend. En dat geldt ook voor optellen en aftrekken. Ook daarvoor geldt geen voorrangsregel meer.

Zo onderwijst mijn echtgenote het ook in het basisonderwijs: eerst bereken je wat tussen haakjes staat en daarna ga je van links naar rechts en doe je bewerking na bewerking.

De oude rekenmethode geldt niet meer.

Als ik het artikel bekijk dan zie ik daar staan

Maar tegenwoordig is de internationale bewerkingsvolgorde Haakjes, Machtsverheffen, Worteltrekken, Vermenigvuldigen en Delen, Optellen en Aftrekken, met als ezelsbruggetje: Hoe Moeten Wij Van Die Onvoldoendes Afkomen.

Dat betekent dat de oude voorrangsregel niet meer geldt ..... maar die is wel, toch volgens het artikel, vervangen door een nieuwe volgorde.
Waaruit ik afleid dat jouw bewering dat de oude rekenmethode niet meer geldt op zijn minst voorbarig mag genoemd worden.

Maar dit doet wel een aantal belletjes rinkelen bij mij.

Wat als ..... deze verschillende rekenmethodes bij de constructie van de Twin Towers een rol zouden hebben gespeeld?

Wat als de hoofdingenieur van de constructiefirma bij het berekenen van de betonsterkte gebruik zou hebben gemaakt van een rekenmachine terwijl de architecten de oude voorrangsregels hadden toegepast?

Dan kon het best wel eens zijn dat het beton niet de door de architecten voorziene samenstelling had en de torens daarom gewoon in stof zijn opgegaan.

En zo zijn er meer dan genoeg voorbeelden aan te halen van constructies die het begeven hebben daar waar dit logischerwijze zowat onmogelijk was.

Zoals ik voorheen reeds schreef: cijfers liegen niet maar de interpretatie ervan kan zowat alle kanten op ... en dat kan nooit de bedoeling zijn.

[Witte wel]

Wat als ..... deze verschillende rekenmethodes bij de constructie van de Twin Towers een rol zouden hebben gespeeld?

Had wat geweest bij de berekening van de aanvlieg routes.

[MetalPig]

De juiste oplossing is om berekeningen ondubbelzinnig op te schrijven.

[Vitharr]

De juiste oplossing is om berekeningen ondubbelzinnig op te schrijven.

Juist, maar hoe doe je dat als de regels gewijzigd kunnen worden?

Ik ben van de generatie die meegegroeid is met de digitale wereld. Op de basisschool liet een leraar ons kennismaken met de Commodore 64. Op de middelbare school werden de informaticalessen geïntroduceerd. Het was interessant om die ontwikkeling mee te maken. Het mooiste aan die tijd vond ik dat de elektronica deed wat wij vroegen in plaats van ons te vertellen wat we moesten doen.

Ik kan me het dilemma van de rekenmethodes nog herinneren. Omdat rekenmachines als gemeengoed nieuw waren hadden we daar aparte lessen voor. In 1 van die lessen is de rekenmachineregel uitgelegd. Zoals ons toen verteld was een tekortkoming van de toegepaste elektronica dat berekeningen volgens een andere volgorde uitgevoerd werden. De oplossing toen was wat Metalpig beschrijft. Door haakjes te gebruiken waar dat in de hoofdrekenmethode niet nodig was forceerde je een rekenmachine dezelfde methode te gebruiken. Niet veel later boden de duurdere varianten de hoofdrekenmethode standaard aan.

Ik weet het niet zeker, maar ik kan me zo voorstellen dat onze voorkeur voor goedkope luxe ertoe geleid heeft dat de rekenmachinemethode-apparaten gemeengoed werden (zo zijn we ook aan Windows gekomen). Net als met taal is blijkbaar de Wiskunde aangepast. Ik heb me ook regelmatig afgevraagd wat dat voor consequenties kon hebben op wetenschappelijk gebied. Gevoelsmatig moesten alle vergelijkingen herschreven worden.

[MetalPig]

De juiste oplossing is om berekeningen ondubbelzinnig op te schrijven.

Juist, maar hoe doe je dat als de regels gewijzigd kunnen worden?

Zoals Gusteman het deed bijvoorbeeld:

__8__
2(2+2)

Geen twijfel mogelijk.